Srinivasa Ramanujan

 CZŁOWIEK FORMUŁA

 Srinivasa Ramanujan

Urodzony: Erode, Tamilnadu, Indie, 22 grudnia 1887 roku

Zmarły: Kumbakonam, Tamilnadu, Indie, 26 kwietnia 1920 roku

 

Był styczeń 1913 roku. Turcja prowadziła wojnę na Bałkanach i Europa coraz głębiej i głębiej była wciągana w konflikt. Godfrey Harold Hardy, profesor matematyki na uniwersytecie w Cambridge, gardził wojną. Czerpał wielką dumę z tego, że dziedzina, której poświęcił całe życie, jest czystą matematyką i nie ma zastosowań militarnych.

Na zewnątrz z nieba sypał się wilgotny śnieg, przez Wielki Dziedziniec Trinity College przemykali ubrani w togi studenci, rozpryskując pośniegowe błoto. Wesoło trzaskający w kominku ogień trzymał jednak zimno z dala od pokojów Hardy’ego. Na stole leżała poranna poczta, czekając na otwarcie. Zerknął na koperty. Jedna przykuła jego uwagę ze względu na nietypowe znaczki. Przesyłka została nadana w Madrasie 16 stycznia 1913 roku. Hardy rozciął szarą kopertę, dość mocno podniszczoną przez długą podróż, jaką odbyła. Wyjął ze środka plik kartek. Dołączony do nich list, napisany jakąś obcą ręką, zaczynał się od słów:

Drogi Panie,

pozwoli Pan, że na wstępie przedstawię mą skromną osobę. Jestem urzędnikiem w dziale księgowości, zatrudnionym w biurach zarządu portu w Madrasie, z roczną pensją zaledwie 20 funtów. Mam teraz 23 lata. Nigdy nie studiowałem na uniwersytecie (...) Po zakończeniu nauki w szkole poszedłem do pracy, ale w wolnym czasie zajmuję się matematyką (...) Szukam dla siebie nowej drogi.

O Boże, jeszcze jeden czubek. Pewnie wydaje mu się, że rozwiązał problem kwadratury koła. Hardy już miał zamiar wyrzucić list do kosza, ale gdy podniósł kartkę, pod spodem zobaczył stronę zapisaną symbolami matematycznymi, układającymi się w ciekawe wzory. Kilka z nich rozpoznał. Inne były... niezwykłe.

Jeśli autor listu jest czubkiem, to może przynajmniej okaże się czubkiem zabawnym. Profesor czytał dalej:

Całkiem niedawno natknąłem się na Pański traktat zatytułowany Orders of Infinity; na stronie 36 zamieszczono w nim stwierdzenie, dla którego nie znaleziono dotychczas konkretnego wyrażenia opisującego listę liczb pierwszych mniejszych od zadanej liczby. Wyprowadziłem wyrażenie, które jest bardzo dobrym przybliżeniem właściwego wyniku, błąd jest pomijalny.

A nie mówiłem? Odkrył na nowo liczby pierwsze.

Mam prośbę, aby zechciał Pan przejrzeć załączone dokumenty. Ponieważ jestem ubogim człowiekiem, chciałbym – jeśli tylko uzna Pan, że są one coś warte – by moje twierdzenia zostały opublikowane (...) Nie mam doświadczenia, toteż bardzo wysoko cenię sobie każdą radę, jakiej zechciałby mi Pan udzielić. Proszę o wybaczenie, że sprawiam kłopot.

Z poważaniem,

S. Ramanujan

 

Nie jest to typowy czubek, zadumał się Hardy. Typowy czubek byłby agresywniejszy i bardziej zarozumiały. Odłożył list, podniósł załączone dokumenty i zaczął czytać. Pół godziny później siedział nieruchomo w fotelu z osobliwym wyrazem twarzy. Dziwne, bardzo dziwne. Hardy był zaintrygowany. Nadeszła jednak pora jego wykładu z analizy dla studentów, wbił się więc w swoją poplamioną kredą togę i wyszedł z kwatery, zamykając za sobą drzwi.

Tego wieczora przy kolacji opowiedział o dziwnym liście każdemu koledze z uczelni, który chciał go słuchać, w tym bliskiemu współpracownikowi, Johnowi Littlewoodowi. Littlewood zgodził się poświęcić godzinę na przyjrzenie się sprawie, aby uspokoić przyjaciela. Pokój do gry w szachy był wolny. Kiedy weszli do środka, Hardy wyjął cienki plik kartek. „Ten facet – obwieścił wszystkim zebranym – jest albo czubkiem, albo geniuszem”.

Godzinę później Hardy i Littlewood wyszli z pokoju, aby ogłosić werdykt.

Geniusz.

* * *

Mam nadzieję, że będzie mi wybaczone to lekkie udramatyzowanie wydarzeń. Przypisałem Hardy’emu powyższe myśli, ale dokumenty, które przetrwały z tamtych czasów, nie zostawiają wątpliwości, że mniej więcej właśnie to chodziło mu po głowie, a ogólny rozwój wypadków jest zgodny z przekazem historycznym.

Autor listu, Srinivasa Ramanujan, urodził się w bramińskiej rodzinie w 1887 roku. Jego ojciec, K. Srinivasa Iyengar, pracował w sklepie z sari, matka, Komalatammal, była córką komornika. Ramanujan przyszedł na świat w domu babki w Erode, mieście położonym w stanie Tamilnadu na południu Indii. Dorastał w Kumbakonam, gdzie pracował ojciec. Powszechnym zwyczajem było, że młoda mężatka żyła z mężem, ale spędzała też sporo czasu z rodzicami, toteż matka często zabierała go do domu swojego ojca, niedaleko Madrasu, jakieś 400 kilometrów od Kumbakonam. Rodzina była uboga, dom malutki. W zasadzie Ramanujan miał szczęśliwe dzieciństwo, choć był bardzo upartym dzieckiem. Przez pierwsze trzy lata życia niemal zupełnie nie mówił, zaniepokojona matka zastanawiała się więc, czy nie jest upośledzony. W wieku pięciu lat nie lubił nauczyciela i nie chciał iść do szkoły. Wolał myśleć o innych rzeczach, zadając denerwujące pytania w rodzaju: „Jak daleko są chmury?”.

Talent matematyczny Ramanujana objawił się szybko. Miał jedenaście lat, gdy prześcignął dwóch studentów college’u, którzy wynajmowali pokój w jego domu. Nauczył się rozwiązywać równania kwadratowe i potrafił wyrecytować wiele cyfr liczb π oraz e. Rok później pożyczył podręcznik zaawansowanej matematyki i bez wysiłku przerobił go do ostatniej strony. Kiedy miał trzynaście lat, połknął Trygonometrię Sidneya Loneya, która zawierała rozwinięcia sinusa i cosinusa w szereg nieskończony, po czym zaczął opracowywać własne, nowe wyniki. Matematyczny talent przyniósł mu w szkole wiele nagród, w 1904 roku dyrektor szkoły opisał go jako ucznia, który zasługuje na ocenę wyższą niż najwyższa możliwa.

Gdy chłopiec miał piętnaście lat, doszło do zdarzenia, które miało zmienić jego życie, choć w tamtym czasie wydawało się całkiem prozaiczne. Otóż wypożyczył z biblioteki rządowego college’u egzemplarz Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics (Abstrakt podstawowych wyników czystej matematyki) George’a Carra. Książka ta, mówiąc łagodnie, jest wyjątkowo specyficzna. Na ponad tysiącu stronach zostało tu wyszczególnionych jakieś pięć tysięcy twierdzeń, wszystkie bez dowodu. Carr zebrał w niej problemy matematyczne, które zadawał swoim studentom. Ramanujan postawił sobie zadanie do wykonania: udowodnić wszystkie znajdujące się w książce formuły. Nie miał żadnej pomocy, nie korzystał z innych książek. Zaangażował się w projekt badawczy złożony z pięciu tysięcy osobnych tematów. Był zbyt ubogi, aby pozwolić sobie na zakup papieru, wszystkie obliczenia więc sporządzał na tabliczce i dopiero wyniki przepisywał do stosu zeszytów, które zbierał przez całe życie.W 1908 roku matka dwudziestoletniego wówczas Ramanujana, Komalatammal, zdecydowała, że już czas, aby znaleźć synowi żonę. Jej wybór padł na Janaki, córkę jednego z jej krewnych, mieszkającego około stu kilometrów od Kumbakonam. Janaki miała dziewięć lat. Różnica wieku nie była wielką przeszkodą w społeczności aranżującej małżeństwa, i to z udziałem dzieci. Ramanujan wydawał się bardzo przeciętnym młodzieńcem: leniwym gamoniem bez pracy, bez pieniędzy i bez perspektyw. Janaki była jednak jedną z pięciu sióstr w rodzinie, która straciła niemal cały swój majątek. Jej rodzice powinni być szczęśliwi, gdyby udało im się znaleźć dla córki męża, który będzie ją dobrze traktował. To wystarczało Komalatammal, a zdanie matki zazwyczaj oznaczało, że umowa została zawarta. Tą decyzją jednak rozwścieczyła męża. Uważał on, że jego syn zasługuje na coś lepszego! Dwa lata wcześniej już prawie się ożenił, ale nieszczęśliwym zbiegiem okoliczności śmierć w rodzinie narzeczonej zniweczyła plany. Ojca wyprowadziło z równowagi przede wszystkim to, że żona nie zapytała go o zdanie. W każdym razie znieważył rodzinę narzeczonej, odmawiając przybycia na wesele.

Nadszedł dzień planowanych zaślubin, a pana młodego i jego rodziny ani śladu. Ojciec panny młodej, Rangaswamy, ogłosił wszystkim bez wyjątku, że jeśli Ramanujan nie pojawi się wkrótce, to na miejscu wyda córkę za pierwszego lepszego kandydata. Ostatecznie pociąg z Kumbakonam przyjechał z wielogodzinnym opóźnieniem. Było dobrze po północy, gdy do wioski wjechał wóz ciągnięty przez woły, przywożąc Ramanujana i jego matkę (ojciec nie przybył). Komalatammal szybko ucięła pogróżki Rangaswamy’ego, publicznie wytykając, że ubogi ojciec z piątką córek musiałby być szaleńcem, aby odrzucać uczciwą ofertę.

Po uroczystościach trwających zwyczajowe pięć, sześć dni Janaki została żoną Ramanujana. Miała dołączyć do niego dopiero po osiągnięciu dojrzałości płciowej, ale życie obojga młodych małżonków uległo zmianie. Ramanujan zaczął rozglądać się za pracą. Próbował dawać studentom korepetycje z matematyki, jednak nie znalazł chętnych. Kiedy zachorował, co zapewne było konsekwencją przebytej operacji, pojawił się w furmance przed domem przyjaciela, R. Radhakrishny Iyera, a ten zabrał go do lekarza i odwiózł na pociąg powrotny do Kumbakonam. Tuż przed odjazdem Ramanujan powiedział: „Jeżeli umrę, proszę, oddaj to profesorowi Singaravelu Mudaliarowi albo brytyjskiemu profesorowi Edwardowi Rossowi”. Po tych słowach wręczył zaskoczonemu przyjacielowi dwa grube zeszyty zapisane symbolami matematycznymi.

Było w nich nie tylko dziedzictwo Ramanujana, lecz także przepustka do pracy: dowód, że jest kimś więcej niż gnuśnym nicponiem. Zaczął odwiedzać wpływowych ludzi ze swym matematycznym portfolio pod pachą. W książce Człowiek, który poznał nieskończoność Robert Kanigel pisze: „Półtora roku po ślubie Ramanujan stał się akwizytorem. Towarem, który sprzedawał, był on sam”. Nie był to chodliwy towar. W tamtych latach Indie były krajem, w którym najlepszą drogę do zatrudnienia stanowiły odpowiednie koneksje, a tych Ramanujan nie miał. Miał tylko swoje zeszyty... i jeszcze jedną ważną zaletę. Był przyjacielski. Wszyscy go lubili. Cechowało go wesołe usposobienie, opowiadał dowcipy.Ostatecznie jego upór i ujmujący sposób bycia przyniosły pozytywny skutek. W 1912 roku profesor matematyki, P.V. Seshu Aiyar, posłał go do R. Ramachandry Rao, urzędnika państwowego, który zajmował stanowisko poborcy stanowego w Nellur. Rao tak wspominał to spotkanie:

Zgodziłem się łaskawie, by Ramanujan się zbliżył. Niewysoki mężczyzna o niezgrabnej figurze, korpulentny, nieogolony, nieprzesadnie dbający o higienę, z jedną rzucającą się w oczy cechą – te błyszczące oczy (...) Od razu zobaczyłem, że było w nim coś wyjątkowego, ale moja wiedza okazała się niewystarczająca, aby osądzić, czy mówi z sensem, czy bez (...) Pokazał mi prostsze ze swoich prac. Wykraczały poza istniejące książki i nie miałem wątpliwości, że stoi przede mną niezwykły człowiek. Potem, krok po kroku, poprowadził mnie przez całki eliptyczne i szeregi hipergeometryczne, a na koniec przekonał mnie teorią szeregów rozbieżnych, której świat jeszcze nie poznał.

Rao znalazł młodemu człowiekowi pracę w biurach zarządu portu w Madrasie, z płacą 30 rupii na miesiąc. Po wykonaniu obowiązków Ramanujan miał sporo wolnego czasu na kontynuowanie badań, a dodatkową korzyścią było to, że mógł zabierać zużyty papier pakowy i wykorzystywać go do notowania swoich dociekań matematycznych.

To właśnie wtedy, za namową pewnych ludzi, Ramanujan napisał nieśmiały list do Hardy’ego, ten zaś czym prędzej wysłał zachęcającą odpowiedź. Ramanujan poprosił go o wysłanie „życzliwego listu”, który pomógłby mu dostać stypendium naukowe. Profesor myślał o czymś więcej i miał ambitniejsze plany. Napisał już do sekretarza urzędu ds. studentów z Indii w Londynie, szukając sposobu na zapewnienie Ramanujanowi możliwości kształcenia w Cambridge. Wtedy jednak wyszło na jaw, że młody geniusz wcale nie chce wyjeżdżać z Indii. Ruszyły tryby machiny Cambridge. Inny matematyk z Trinity College, Gilbert Walker, przebywał z wizytą w Madrasie. Napisał list do władz tamtejszego uniwersytetu i Ramanujan otrzymał specjalne stypendium. Przynajmniej zyskał wolność i mógł poświęcić cały swój czas matematyce.

Hardy nie przestawał namawiać Ramanujana do przyjazdu do Anglii, a ten zaczął się wahać; główną przeszkodą była teraz jego matka. Tymczasem pewnego ranka, wprawiając całą rodzinę w osłupienie, nieoczekiwanie ogłosiła, że we śnie odwiedziła ją bogini Namagiri i nakazała pozwolić synowi, by wypełnił życiowe powołanie. Ramanujan otrzymał grant na pokrycie kosztów podróży i utrzymanie, wszedł na pokład statku płynącego do Anglii i w kwietniu 1914 roku znalazł się w Trinity College. Musiał czuć się bardzo nieswojo w nowym otoczeniu, ale przyzwyczaił się i skupił na pracy. Opublikował wiele wyników, w tym wpływowe artykuły, będące efektem współpracy z Hardym.

Ramanujan był braminem, należał do hinduskiej kasty, której członkom nie wolno wyrządzać krzywdy zwierzętom. Choć jego angielscy przyjaciele odnieśli wrażenie, iż te religijne motywacje nie wynikają z wiary, ale ze zwyczajów społecznych, starał się przestrzegać właściwych zasad, o ile było to możliwe w ogarniętej wojną Anglii. Jako wegetarianin nie ufał kucharzom w college’u, że wyeliminują wszelkie produkty mięsne, nauczył się więc gotować, oczywiście potrawy typowe dla kuchni hinduskiej. Zdaniem przyjaciół został wyśmienitym kucharzem.

Około 1916 roku jego przyjaciel, Gyanesh Chandra Chatterji, będący w Cambridge stypendystą rządu Indii, miał się żenić, Ramanujan więc zaprosił go wraz z narzeczoną na obiad. Zgodnie z uzgodnieniami Chatterjiego, jego narzeczona i przyzwoitka pojawili się w kwaterze Ramanujana, a on poczęstował gości zupą. Kiedy skończyli jeść, zaproponował dokładkę i cała trójka dostała drugą porcję. Potem podsunął trzecią porcję. Chatterji przyjął propozycję, ale panie odmówiły.

Chwilę później gospodarz zniknął.

Goście czekali na jego powrót. Minęła godzina i Chatterji zszedł na dół, aby poszukać odźwiernego. Dowiedział się od niego, że owszem, widział pana Ramanujana, jak zawołał taksówkę i odjechał. Chatterji wrócił na górę i trójka gości czekała aż do godziny dziesiątej wieczorem, kiedy to regulamin college’u zobowiązywał ich do opuszczenia kwater. Nigdzie ani śladu gospodarza. I tak przez następne cztery dni... Co się stało? Chatterji był zaniepokojony.

Piątego dnia przyszedł telegram z Oksfordu. Ramanujan prosił w nim przyjaciela o przesłanie telegraficznie pięciu funtów. (W tamtych czasach była to poważna kwota, równowartość kilkuset funtów dzisiaj). Chatterji wysłał pieniądze i czekał. Kiedy przyjaciel pojawił się zgodnie z przewidywaniami, zapytał, co się stało. Ramanujan wyjaśnił: „Poczułem się zraniony i znieważony, gdy panie odmówiły posiłku, który przygotowałem”.

Był to oczywisty znak, że targały nim wewnętrzne rozterki. Ramanujan był u kresu wytrzymałości. Nigdy do końca nie przystosował się do życia w Anglii. Zawsze był nie najlepszego zdrowia, lecz teraz czuł się coraz gorzej i ostatecznie wylądował w szpitalu. Odwiedził go Hardy i ta wizyta prowadzi do innej anegdoty o Ramanujanie, w której również pojawia się taksówka. Wygląda to na wyświechtany motyw, ale tym razem taksówka odgrywa niebanalną rolę.

Hardy napisał kiedyś, że każda dodatnia liczba całkowita była jedną z osobistych przyjaciółek Ramanujana, i zilustrował to anegdotą nawiązującą do wizyty w szpitalu. „Jechałem taksówką o numerze 1729 i rzuciłem mimochodem, że numer wydał mi się raczej nieciekawy, toteż mam nadzieję, iż nie jest to jakiś zły znak. »Nie, nie – odparł Ramanujan. – Właśnie że jest bardzo ciekawy. To najmniejsza liczba wyrażalna jako suma dwóch potęg trzeciego stopnia na dwa różne sposoby«”.

Ściśle mówiąc,

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

i jest to najmniejsza liczba dodatnia o takiej własności.

Historyjka znakomicie puentuje naturę Ramanujana, jednak nie mogę się powstrzymać przed snuciem domysłów, czy przypadkiem nie była to ze strony Hardy’ego wykonana z premedytacją próba pokrzepienia chorego przyjaciela, który musiał połknąć haczyk. Większość ludzi nie zauważyłaby tej cechy liczby 1729, ale nie ma najmniejszych wątpliwości, że Ramanujan dostrzegłby ją natychmiast. W istocie wielu matematyków, zwłaszcza tych zainteresowanych teorią liczb – Hardy był jednym z nich – miałaby świadomość tej zależności. Niemal niemożliwe, aby patrząc na liczbę 1729, matematyk nie pomyślał o 1728, która jest trzecią potęgą 12. Trudno również nie dostrzec, że 1000 to trzecia potęga 10, a 729 – trzecia potęga 9.

Mniejsza o to, anegdota Hardy’ego doprowadziła do sformułowania drugorzędnego, ale intrygującego pojęcia w teorii liczb: tak zwanej liczby taksówkowej. Otóż n-ta liczba taksówkowa to najmniejsza liczba, która może być wyrażona jako suma dwóch dodatnich potęg trzeciego stopnia na n różnych sposobów. Dwie kolejne liczby taksówkowe to 

87 539 319

6 963 472 309 248.

Istnieje nieskończenie wiele liczb taksówkowych, ale znanych jest tylko sześć pierwszych.

W 1917 roku Ramanujan wrócił do swojej kwatery i obsesyjnie zajął się matematyką. Wyłącznie matematyką. Pracował dzień i noc, potem padał z wyczerpania i spał po dwadzieścia godzin. Nie wpływało to dobrze na jego zdrowie, a z powodu wojny brakowało świeżych owoców i warzyw, które były niezbędnym składnikiem posiłków. Wiosną dotknęła go jakaś niezdiagnozowana, lecz prawdopodobnie nieuleczalna choroba. Został przyjęty do niewielkiego prywatnego szpitala, w którym leczyli się pacjenci z Trinity College. Na przestrzeni dwóch następnych lat odwiedził przynajmniej ośmiu lekarzy i przebywał w najmniej pięciu lecznicach i sanatoriach. Lekarze podejrzewali u niego wrzód żołądka, potem raka, następnie posocznicę. Koniec końców zdecydowali, że najbardziej prawdopodobna jest gruźlica, i głównie w tym kierunku stosowali leczenie.

Wreszcie, zdecydowanie zbyt późno, jego udziałem stały się akademickie zaszczyty. Został pierwszym Hindusem przyjętym do Towarzystwa Królewskiego, członkostwo przyznał mu także Trinity College. To pobudziło Ramanujana do pracy, znowu dał się pochłonąć matematyce. Stan zdrowia jednak nie poprawiał się, podejrzewano, że szkodzi mu angielski klimat, toteż w kwietniu 1919 roku wrócił do Indii. Długa podróż nie wyszła mu na dobre. Kiedy dotarł do Madrasu, stan jego zdrowia po raz kolejny uległ pogorszeniu. Zmarł w Madrasie w 1920 roku, zostawiając wdowę. Nie miał dzieci.

(...)

Ponieważ Ramanujan funkcjonował w tak zadziwiającym trybie, uzyskując poprawne wyniki bez odwoływania się do rygorystycznych metod, czasem można napotkać sugestie, iż jego procesy myślowe przebiegały w sposób szczególny lub niezwykły. Sam Ramanujan rzekomo powiedział, iż bogini Namagiri podpowiadała mu rozwiązania w snach. Mógł jednak tak powiedzieć, aby uniknąć żenujących dyskusji. Zgodnie z tym, co przyznała wdowa, S. Janaki Ammal Ramanujan, „nigdy nie miał czasu, aby pójść do świątyni, bo nieustannie był opętany przez matematykę”. Hardy napisał, że wierzy, iż „wszyscy matematycy, w gruncie rzeczy, myślą w ten sam sposób i Ramanujan nie był wyjątkiem”. Dodał jednak: „Łączył umiejętność uogólniania, wyczucie formy i zdolność do szybkiego modyfikowania hipotez, które często były naprawdę zdumiewające”.

Ramanujan nie był ani największym, ani najpłodniejszym matematykiem tamtego okresu, ale jego reputacja nie opiera się wyłącznie na nietypowym pochodzeniu i wzruszającej historii pod tytułem „Biedny chłopak odnosi sukces”. Formułowane przez niego idee miały dużą siłę oddziaływania za jego życia, lecz z każdym rokiem po jego śmierci siła ta jeszcze rosła. Bruce Berndt jest przekonany, że Ramanujan nie tylko nie był staroświecki, ale też wręcz wyprzedzał swoje czasy. Czasem łatwiej jest udowodnić zdumiewające formuły Ramanujana, niż zrozumieć, jak w ogóle mógł wpaść na taki pomysł. Wiele jego najgłębszych myśli dopiero teraz potrafimy docenić. Ostatnie słowo zostawię Hardy’emu:

Tego jednego daru, który ma [jego matematyka], nikt nie może podważyć: gruntownej i niezachwianej oryginalności. Zapewne byłby większym matematykiem, gdyby ktoś się nim zajął i okiełznał go w młodości, zapewne odkryłby więcej nowych rzeczy i, bez cienia wątpliwości, rzeczy ważniejszych. Jednakże byłby wtedy mniej Ramanujanem, bardziej zaś europejskim profesorem. Możliwe, że więcej straciłby, niż zyskał.

Ian Stewart 

Krótka historia wielkich umysłów. Genialni matematycy i ich arcydzieła